解の公式の２つの謎

2次方程式の解の公式を証明していく中で、

ん？

となったところがある。
それが、

１．両辺は平方根の関係
２．文字の2乗の平方根

このふたつ。
とりあえず、証明を見ていこう。

解の公式の証明

ここまでは大丈夫。

１．両辺は平方根の関係

ここで、両辺を見比べると、平方根の関係であることが分かる。
つまり、

こんな感じになる。

ん？

どういうことか。
まず、平方根とは、
「2乗するとaになる数」を、「aの平方根」って言い方をする。
つまり、平方根の関係というのは、
例えば具体的な数字で考えると、

こういうこと。
なので

ということになる。
「≧０」という範囲指定があるのは、数学Ⅰで扱う数の範囲が「実数の範囲」だから。

これで1つ目の「両辺は平方根の関係」という謎が解けた。

２．文字の2乗の平方根

あとは、「ｘ＝～」の形にしていくだけなんだけど、途中で文字の2乗の平方根が出てくる。

この②で文字の2乗の平方根が出てきている。
つまり、ルートの中に文字の2乗が入っている場合の処理をしないといけない。
単純に、

ではなく、

としなくてはならない。

じゃあ、

っていう感じに、「なぜ±を考えてないのか」と思った。
ちょっと文字とか式が多いから、分かりやすくするために、

として、

これで考えてみる。
まず、「±」というのは、「＋」または「－」という意味。
つまり、

ということ。
ここで、

なので

という感じになる。
ここでまたまた「±」が出てきたので、

ということになる。
本来はこれをすべて検討しなきゃはいけないんだと思う。
符号がどうなるのかを特に注目してみてみると、

こんな感じになって、

つまり、まとめると、

となる。
こんな感じに、

と分かる。

だから、

この式変形が成り立つ。
これで2つ目の「文字の2乗の平方根」という謎が解けた。

定義を知る

「2乗するとaになる数」を、「aの平方根」と呼ぶ。

「±」は、「＋」または「－」という意味。

まとめ

1つ目の謎「両辺は平方根の関係」を解くためには、平方根の意味を知って、具体的な数字で確認すれば謎は解けた。

2つ目の謎「文字の2乗の平方根」を解くためには、±の意味を知って、すべての場合を検討すれば謎は解けた。

1つ目の謎の箇所で、「両辺の平方根を取る」というやり方もあったけど、それはそれでちょっとややこしくなりすぎるから、1つ目の謎の箇所は、「両辺は平方根の関係」を考える方が良い。